Bergbau

Video - Fermats kleiner Satz

Einführung in einen Schlüssel Ergebnis in elementarer Zahlentheorie mit einer Visualisierung mit Perlen. Erstellt von Brit Cruise.

TRANSKRIPT

Voice-over: Bob entdeckte etwas sehr Interessantes, während er bunte Perlenohrringe für seinen Laden herstellte. Jetzt mögen seine Kunden Abwechslung, also beschließt er, jeden möglichen Stil für jede Größe zu machen. Beginnend mit der Größe drei, beginnt er mit allen möglichen Stilen. Jeder Ohrring beginnt als eine Perlenkette, und dann werden die Enden zu einem Ring verbunden.

Also, wie viele mögliche Strings gibt es? Mit zwei Farben und drei Perlen gibt es drei Möglichkeiten, jeweils aus zwei Farben. Also zwei mal zwei mal zwei entspricht acht möglichen eindeutigen Strings. Und dann subtrahiert er die Saiten, die nur eine Farbe haben, oder einfarbige Saiten, da er nur bunte Ohrringe baut. Dann klebt er sie alle zu Ringen zusammen.

Er nahm an, dass er mit sechs verschiedenen Ohrringen enden würde, aber etwas passierte. Er konnte den Unterschied zwischen den meisten nicht mehr unterscheiden. Es stellt sich heraus, dass er nur zwei Stile hat, weil jeder Stil nun Teil einer Gruppe mit zwei identischen Partnern ist. Beachten Sie, dass Sie sie immer basierend auf Rotationen anpassen können. Die Größe dieser Gruppen muss daher davon abhängen, wie viele Umdrehungen benötigt werden, um zum Original zurückzukehren.

Oder wie viele Umdrehungen um einen Zyklus zu vervollständigen. Das bedeutet also, dass die ursprüngliche Menge aller mehrfarbigen Streicher gleichmäßig in Gruppen der Größe 3 aufgeteilt wird. Nun, wäre das für andere Größen wahr? Das wäre praktisch, da er immer die gleiche Menge von jedem Stil möchte. Also versucht er das mit vier Perlen.

Zuerst baut er alle möglichen Strings auf. Mit vier Perlen kann er aus zwei Farben für jede Perle wählen, also zwei mal zwei mal zwei mal zwei gleich sechzehn. Dann entfernt er die zwei einfarbigen Halsketten und befestigt alle anderen zu Ringen.

Werden sie jetzt gleich große Gruppen bilden? Scheinbar nicht. Was ist passiert? Beachten Sie, wie sich der erste Satz von Strings in Stile unterteilt. Wenn Strings vom selben Stil sind, bedeutet das, dass man sich ineinander formen kann, indem man die Perlen von einem Ende ergreift und sie auf das andere Ende klebt. Und es gibt einen Stil, der nur aus zwei Mitgliedern besteht, und zwar deshalb, weil er aus einer sich wiederholenden Einheit der Länge zwei aufgebaut ist. Daher sind nur zwei Umdrehungen erforderlich, um einen Zyklus zu vervollständigen.

Daher enthält diese Gruppe nur zwei. Er kann sie nicht in eine gleiche Anzahl von Stilen teilen. Was ist mit Größe fünf? Werden sie in die gleiche Anzahl von jedem Stil brechen? Warte, plötzlich merkt er, dass er sie nicht einmal bauen muss, um es herauszufinden. Es muss funktionieren, da fünf nicht aus einem sich wiederholenden Muster bestehen können, weil fünf nicht in gleiche Teile zerlegt werden können. Es ist eine Primzahl.

Egal, mit welcher Art von mehrfarbigen Saiten Sie beginnen, es wird immer fünf Rotationen oder Perlenwechsel erfordern, um zu sich selbst zurückzukehren.Die Zykluslänge jeder Zeichenfolge muss fünf sein. Nun, lasst uns das überprüfen. Zuerst werden alle möglichen Zeichenfolgen erstellt und die zwei einfarbigen Zeichenfolgen entfernt. Dann trennen wir die Saiten in Gruppen, die zum selben Stil gehören, und bauen für jeden Stil einen einzelnen Ohrring auf.

Beachten Sie, dass sich jeder Ohrring genau fünf Mal dreht, um einen Zyklus abzuschließen. Wenn wir also alle Saiten in Ringe geklebt haben, müssen sie sich in gleich große Fünfergruppen aufteilen. Aber dann geht er noch einen Schritt weiter. Derzeit benutzt er nur zwei Farben, aber er erkennt, dass dies mit einer beliebigen Anzahl von Farben zu halten ist.

Weil jeder mehrfarbige Ohrring mit einer Primzahl von Perlen, P, eine Zykluslänge von P haben muss, da Primzahlen nicht in gleich große Einheiten aufgeteilt werden können. Wenn jedoch eine zusammengesetzte Anzahl von Perlen verwendet wird, wie zum Beispiel sechs, haben wir immer bestimmte Saiten mit kürzeren Zykluslängen, da sie tatsächlich aus einer sich wiederholenden Einheit aufgebaut sind und daher kleinere Gruppen bilden.

Und erstaunlicherweise ist er einfach auf Fermats kleinen Satz gestoßen. Gegeben sind A Farben und Strings der Länge P, die Primzahlen sind, die Anzahl der möglichen Strings ist A mal A mal A, P mal oder A hoch P. Und wenn er die einfarbigen Strings entfernt, subtrahiert er genau A Strings, da gibt es für jede Farbe eine. Dies hinterlässt ihn mit A zur Kraft von P minus A Saiten.

Und wenn er diese Saiten aneinander klebt, fallen sie in Gruppen der Größe P, da jeder Ohrring eine Zykluslänge von P haben muss. Deshalb teilt P A auf die Potenz von P minus A. Und das ist es. Wir können diese Aussage auch in der modularen Arithmetik ausdrücken. Denken Sie daran, wenn Sie A durch P auf die Potenz von P aufteilen, werden Sie mit einem Rest von A zurückbleiben.

Also können wir dies als A schreiben, damit die Potenz von P zu A mod P kongruent ist. Und hier Wir sind auf eines der grundlegenden Ergebnisse der Zahlentheorie gestoßen, indem wir nur mit Perlen gearbeitet haben.